5.最长回文子串

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

示例

示例 1：

输入: "babad"
输出: "bab"
注意: "aba" 也是一个有效答案。

示例 2：

输入: "cbbd"
输出: "bb"

解法

1-中心扩展

我们知道回文串一定是对称的，所以我们可以每次循环选择一个中心，进行左右扩展，判断左右字符是否相等即可。

由于存在奇数的字符串和偶数的字符串，所以我们需要从一个字符开始扩展，或者从两个字符之间开始扩展，所以总共有 n+n-1 个中心。

时间复杂度：O(n²）空间复杂度：O(1）

代码

class Solution:
    # 中心扩展
    def expandAroundCenter(self,s: str,left:int,right:int) -> str:
        L, R = left, right
        while L>= 0 and R< len(s) and s[L]==s[R]:
            L -= 1
            R += 1
        return s[L+1:R]
    # 求最长回文子串
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        if len(s) <= 1: # 长度小于等于1直接返回原字符串
            return s
        res = s[:1] # 初始化result为字符串首位
        for i in range(len(s)):
            len1 = self.expandAroundCenter(s, i, i)
            len2 = self.expandAroundCenter(s, i, i + 1)
            # 迭代res使其成为最长的子串
            res = max(len1,len2,res,key=len)
        return res

2-马拉车算法（Manacher’s Algorithm）

Manacher‘s Algorithm是用来查找一个字符串的最长回文子串的线性方法，由一个叫 Manacher 的人在 1975 年发明的，这个方法的最大贡献是在于将时间复杂度提升到了线性。

首先我们解决下奇数和偶数的问题，在每个字符间插入 “#”，并且为了使得扩展的过程中，到边界后自动结束，在两端分别插入 “^” 和 “$”，两个不可能在字符串中出现的字符，这样中心扩展的时候，判断两端字符是否相等的时候，如果到了边界就一定会不相等，从而出了循环。经过处理，字符串的长度永远都是奇数了。

首先我们用一个数组 P 保存从中心扩展的最大个数，而它刚好也是去掉 “#” 的原字符串的总长度。例如下图中下标是 6 的地方，可以看到 P[ 6 ] 等于 5，所以它是从左边扩展 5 个字符，相应的右边也是扩展 5 个字符，也就是 “#c#b#c#b#c#”。而去掉 # 恢复到原来的字符串，变成 “cbcbc”，它的长度刚好也就是 5。

求原字符串下标
用 P 的下标 i 减去 P [ i ]，再除以 2，就是原字符串的开头下标了。

例如我们找到 P[ i ] 的最大值为 5，也就是回文串的最大长度是 5，对应的下标是 6，所以原字符串的开头下标是（6 - 5 ）/ 2 = 0。所以我们只需要返回原字符串的第 0 到第（5 - 1）位就可以了。

求每个 P [ i ]
接下来是算法的关键了，它充分利用了回文串的对称性。

我们用 C 表示回文串的中心，用 R 表示回文串的右边半径。所以 R = C + P[ i ]。C 和 R 所对应的回文串是当前循环中 R 最靠右的回文串。

让我们考虑求 P [ i ] 的时候，如下图。

用 i_mirror 表示当前需要求的第 i 个字符关于 C 对应的下标。

我们现在要求 P [ i ]，如果是用中心扩展法，那就向两边扩展比对就行了。但是我们其实可以利用回文串 C 的对称性。i 关于 C 的对称点是 i_mirror，P [ i_mirror ] = 3，所以 P [ i ] 也等于 3。

但是有三种情况将会造成直接赋值为 P [ i_mirror ] 是不正确的，下边一一讨论。

超出了 R

当我们要求 P [ i ] 的时候，P [ mirror ] = 7，而此时 P [ i ] 并不等于 7，为什么呢，因为我们从 i 开始往后数 7 个，等于 22，已经超过了最右的 R，此时不能利用对称性了，但我们一定可以扩展到 R 的，所以 P [ i ] 至少等于 R - i = 20 - 15 = 5，会不会更大呢，我们只需要比较 T [ R+1 ] 和 T [ R+1 ]关于 i 的对称点就行了，就像中心扩展法一样一个个扩展。

P [ i_mirror ] 遇到了原字符串的左边界

此时P [ i_mirror ] = 1，但是 P [ i ] 赋值成 1 是不正确的，出现这种情况的原因是 P [ i_mirror ] 在扩展的时候首先是 “#” == “#”，之后遇到了 “^” 和另一个字符比较，也就是到了边界，才终止循环的。而 P [ i ] 并没有遇到边界，所以我们可以继续通过中心扩展法一步一步向两边扩展就行了。

i 等于了 R
此时我们先把 P [ i ] 赋值为 0，然后通过中心扩展法一步一步扩展就行了。

考虑 C 和 R 的更新
就这样一步一步的求出每个 P [ i ]，当求出的 P [ i ] 的右边界大于当前的 R 时，我们就需要更新 C 和 R 为当前的回文串了。因为我们必须保证 i 在 R 里面，所以一旦有更右边的 R 就要更新 R。

此时的 P [ i ] 求出来将会是 3，P [ i ] 对应的右边界将是 10 + 3 = 13，所以大于当前的 R，我们需要把 C 更新成 i 的值，也就是 10，R 更新成 13。继续下边的循环。

作者：windliang|链接地址

代码

class Solution:
    # 马拉车算法
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        if len(s) < 2:
            return s
        # 将一个可能是偶数长/奇数长的字符串，首位以及每个字符间添加#
        test = '#'+'#'.join(s)+'#'
        # 当前遍历的中心最大扩散步数，其值等于原始字符串的最长回文子串的长度
        max_len = 0
        for i in range(len(test)):
            left = i - 1
            right = i + 1
            step = 0
            while left >= 0 and right < len(test) and test[left] == test[right]:
                left -= 1
                right += 1
                step += 1
            # 找到合适的起点位置
            if step > max_len:
                max_len = step
                start = (i - max_len) // 2
        return s[start: start + max_len]

来源

LeetCode中该题地址，Click here!